Tarok u brojkama
Vjerojatnosti u taroku: aduti u ruci i talonu, trula, pozvani kralj, najave i razumijevanje statistike igrača.
Kratki odgovori
- Koliko bodova vrijedi mond?
- Mond (XXI) ima osnovnu vrijednost 5 bodova, kao pagat (I) i škis. Karte broji po tri i za svaku potpunu skupinu oduzmi 2 boda; cijeli špil od 54 karte ima 70 bodova.
- Kolika je vjerojatnost aduta u talonu?
- Prije pregleda vlastite ruke nasumični talon od šest karata sadrži barem jedan adut s vjerojatnošću 96,49 %. Pretpostavljamo 22 aduta u pošteno promiješanom špilu od 54 karte. Poznavanje ruke mijenja vjerojatnost.
- Kolika je vjerojatnost trule u početnoj ruci?
- Prije talona vjerojatnost zajedničkog pagata, monda i škisa iznosi 0,89 % u ruci od 12 karata kod četvero igrača ili 2,26 % u ruci od 16 kod troje. Držati ih ne jamči njihovo osvajanje.
- Kolika je vjerojatnost pozvanog kralja u talonu?
- Kod četvero igrača, ako kralja nemaš među svojih 12 karata i nema drugih informacija, šansa u talonu od šest karata iznosi 6 / 42 = 14,29 %. Prema pravilima portala licitator tada igra sam.
- Dokazuje li 60 % pobjeda nakon deset igara kvalitetu igre?
- Ne. Šest pobjeda u deset igara mali je uzorak. U pojednostavljenom modelu usporedivih neovisnih igara približni 95-postotni Wilsonov interval iznosi 31,3–83,2 %. Uzmi u obzir broj igara, protivnike, partnere i inačicu.
01 Koje su pretpostavke izračuna?
Špil sadrži 22 aduta i 32 karte u bojama: osam u svakoj od četiri boje. Pretpostavljamo pošteno miješanje i nasumično dijeljenje bez vraćanja. Tablice opisuju početnu podjelu prije izbora talona i odlaganja.
| Inačica | Karte u ruci | Talon | Ukupno |
|---|---|---|---|
| 4 igrača | 12 | 6 | 54 |
| 3 igrača | 16 | 6 | 54 |
02 Vrijednosti karata i brojanje
Razlikuj bodove karata, bodove igre i ocjenu igrača. Karte se broje po tri: zbroji osnovne vrijednosti pa oduzmi dva. Kralj, dama i obična karta daju 5 + 4 + 1 − 2 = 8 bodova. Cijeli špil ima 70 bodova.
| Karta | Osnovna vrijednost |
|---|---|
| Škis | 5 |
| Mond — XXI | 5 |
| Pagat — I | 5 |
| Kralj | 5 |
| Dama | 4 |
| Kaval | 3 |
| Dečko | 2 |
| Ostali aduti i obične karte u bojama | 1 |
03 Koliko je aduta obično u ruci?
Osam aduta rijetko je kod četvero igrača, a mnogo češće kod troje jer svatko dobiva više karata. Prosjek opisuje mnogo podjela, a ne obećanje za sljedeću ruku.
| Podatak | 4 igrača · 12 karata | 3 igrača · 16 karata |
|---|---|---|
| Prosječan broj aduta | 4,89 | 6,52 |
| Vjerojatnost najmanje 8 aduta | 4,17 % | 27,45 % |
| Vjerojatnost bez aduta | 0,0658 % | 0,00285 % |
| Bez aduta približno jednom na ovoliko podjela | 1 519 | 35 095 |
04 Koliko aduta ima u talonu?
Prije nego što vidiš svoju ruku, nasumični talon od šest karata ima sljedeću raspodjelu. Dva su aduta najčešći ishod, a tri su gotovo jednako česta.
| Aduti u talonu | Vjerojatnost |
|---|---|
| 0 | 3,51 % |
| 1 | 17,15 % |
| 2 | 32,16 % |
| 3 | 29,58 % |
| 4 | 14,05 % |
| 5 | 3,26 % |
| 6 | 0,29 % |
05 Tvoja ruka mijenja vjerojatnost talona
Kod četvero igrača nakon primanja 12 karata ostaju 42 nepoznate. Što više aduta držiš, manje ih ostaje izvan tvoje ruke. Tablica koristi samo tvoje karte, bez dodatnih informacija iz igre.
| Aduti u tvojoj ruci | Najmanje jedan adut u talonu | Očekivani aduti u talonu |
|---|---|---|
| 2 | 98,58 % | 2,86 |
| 4 | 97,43 % | 2,57 |
| 6 | 95,61 % | 2,29 |
| 8 | 92,82 % | 2,00 |
| 10 | 88,68 % | 1,71 |
06 Koliko je rijetka trula?
Trulu čine pagat, mond i škis. Tablica prikazuje njihov broj u početnoj ruci prije talona. Sve tri dobivaš približno jednom u 113 podjela kod četvero i jednom u 44 kod troje igrača.
| Karte trule u ruci | 4 igrača | 3 igrača |
|---|---|---|
| Nijedna | 46,28 % | 34,01 % |
| Jedna | 41,65 % | 45,35 % |
| Dvije | 11,18 % | 18,38 % |
| Sve tri | 0,89 % | 2,26 % |
07 Gdje je pozvani kralj?
U igri za četvero pozvani kralj nije među tvojih 12 karata. Bez drugih informacija on je jedna od 42 nepoznate karte, pa računaj 6 / 42, a ne 6 / 54.
| Mjesto pozvanog kralja | Vjerojatnost |
|---|---|
| Kod prvog drugog igrača | 28,57 % |
| Kod drugog drugog igrača | 28,57 % |
| Kod trećeg drugog igrača | 28,57 % |
| U talonu | 14,29 % |
08 Koliko često nedostaje boja?
Svaka boja ima osam karata. Razlikuj izostanak unaprijed određene boje, primjerice herca, od izostanka bilo koje boje. Mogućnosti se preklapaju, pa prvu vjerojatnost ne smiješ samo pomnožiti s četiri.
| Događaj u početnoj ruci | 4 igrača | 3 igrača |
|---|---|---|
| Nedostaje određena boja | 11,34 % | 4,70 % |
| Nedostaje barem jedna od četiri boje | 40,74 % | 18,17 % |
09 Kada se najava matematički isplati?
Pojednostavljen primjer: tihi uspjeh donosi +10, neuspjeh 0; najavljeni uspjeh +20, neuspjeh −20. Pretpostavljamo jednaku šansu uspjeha u oba slučaja, bez kontri i drugih množitelja. Tablica prikazuje očekivane bodove, ne rezultat jedne igre.
| Šansa uspjeha | Bez najave | S najavom |
|---|---|---|
| 50 % | +5 | 0 |
| 60 % | +6 | +4 |
| 70 % | +7 | +8 |
| 80 % | +8 | +12 |
10 Zašto deset igara nije dovoljno?
Sva tri primjera imaju 60 % pobjeda, ali različitu nesigurnost. Prikazani su približni 95-postotni Wilsonovi intervali za usporedive neovisne igre. To su obrazovni primjeri, a ne statistika portala ili jamstvo budućih rezultata.
| Pobjede / igre | Zabilježena uspješnost | 95-postotni interval |
|---|---|---|
| 6 / 10 | 60 % | 31,3–83,2 % |
| 60 / 100 | 60 % | 50,2–69,1 % |
| 600 / 1 000 | 60 % | 56,9–63,0 % |
Kako su izračunate vjerojatnosti?
Koristimo hipergeometrijsku raspodjelu. N je broj nepoznatih karata, K broj željenih karata, n veličina uzorka, a k broj željenih u uzorku. C(a, b) broji kombinacije. Za nepoznati talon N = 54, K = 22, n = 6; nakon pregleda ruke prilagodi N i K. E[X] je očekivani broj. Matematičke tablice naš su izračun; izvori objašnjavaju pravila koja se mogu razlikovati među inačicama.
P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n)
E[X] = n × K / N